Pembentukan Konsep-Konsep Matematika

Pembentukan Konsep-Konsep Matematika

Kata kunci : Konsep, Matematika

A.    Abstraksi dan Klasifikasi

Meskipun istilah “konsep” digunakan secara luas, namun tidak mudah untuk mendefinisikannya. Definisi langsung adalah cara yang terbaik untuk menyampaikan maksudnya. Jadi kita akan mendekatinya dari berbagai arah dan dengan beberapa contoh yang bervariasi. Konsep matematika adalah sebuah pengertian yang abstrak. Misalkan, pada kasus lainnya perkembangan bayi masa pra-verbal dapat dijelaskan sebagai berikut: pertama, seorang bayi yang berumur 12 bulan, ketika ia mendapati botol susunya yang kosong, ia merangkak mengampiri dua botol anggur yang kosong kemudian ia meletakkan botol susunya di samping kedua botol tersebut. kedua, seorang bayi berumur 2 tahun, dia melihat bayi lain merangkak, kemudian membelai kepalanya dan menepuk-menepuk punggungnya (dia melakukan ini karena dia melihat kebanyakan orang lain memperlakukan yang sama kepada anjing, tetapi tidak pernah melihat sebelumnya perlakuan pada bayi yang lainnya).

 Pada suatu tingkat yang lebih rendah, kita menggolongkan setiap kali kita mengenali suatu objek sebagai salah satu hal yang pernah kita lihat sebelumnya.

Pada diagram di atas c₁, c₂, c₃,..., c_n menggambarkan pengalaman-pengalaman yang terdahulu tentang sejumlah objek yang mempunyai kesamaan yang disebut Particular chair.  Dari sini kita mengabstraksikan sifat-sifat umum dari objek-objek itu seperti yang ditunjukkan oleh c. Ketika sebuah abstraksi itu terbentuk maka pengalaman-pengalaman yang lain akan mudah untuk kita bedakan apakah pengalaman itu masuk ke dalam abstraksi kita atau di luar abstraksi kita. Jika pengalaman itu diluar abstraksi kita, maka kita akan membuat abstraksi yang baru dan proses ini akan berulang-ulang. Sehingga kemampuan kita semakin cepat dalam melakukan abstraksi. Sebagai contoh : meja, karpet, lemari kita abstraksikan ke dalam kelompok perabotan, tanpa melihat pertimbangan-pertimbangan yang lain. Penamaan dari pengkelompokan objek ini, mempunyai kelebihan atau kekurangan. Kita seharusnya bisa mengklasifikasikan suatu objek berdasarkan fungsi dan kegunaan, hubungan, waktu penggunaan dan mungkin juga berdasarkan simbol.

Berikut ini mungkin bermanfaat untuk menghubungkan beberapa istilah yang akan digunakan. Abstraksi adalah sebuah aktifitas berfikir secara sadar akan kesamaan-kesamaan di antara pengalaman-pengalaman kita. Klasifikasi adalah Pengelompokan pengalaman-pengalaman yang mempunyai kesamaan-kesamaan dari hasil abstraksi. Mengklasifikasi artinya mengumpulkan secara bersama pengalaman kita dengan dasar dari kesamaan. Sedangkan mengabstraksi berarti merubah sikap yang terdahulu sehingga menghasilkan pengalaman baru dalam mengelompokan suatu objek berdasarkan kemiripan sifat dari suatu kelompok yang telah terbentuk. Hal ini untuk membedakan abstraksi itu sebagai suatu aktivitas, sedangkan mengabstraksi adalah hasil dari suatu abstraksi, dan rangkaian aktivitas ini menghasilkan suatu konsep.

Konsep terbentuk dari sejumlah pengalaman yang memiliki kesamaan secara umum. Ketika konsep pertama terbentuk, kita bisa mengatakannya sebagai contoh-contoh konsep. Sehingga semakin banyak pengalaman yang kita dapatkan semakin banyak pula konsep-konsep yang kita punya.

Dengan demikian, untuk membentuk suatu konsep memerlukan sejumlah pengalaman yang mempunyai suatu kesamaan. Ketika konsep terbentuk, kita dapat memberikan contoh-contoh konsep tersebut. Obyek-obyek yang lebih sering kita temukan, secara umum lebih cepat terkonseptualisasi.

B.     Penamaan

Bahasa, sangat erat kaitannya dengan konsep dan pembentukan konsep. Perbedaan antara konsep dan namanya sangat penting untuk dibahas, hal ini dikarenakan beberapa orang sangat sukar memisahkan antara konsep dengan namanya. Konsep adalah sebuah ide, sedangkan nama konsep adalah sebutan, atau sesuatu yang bisa ditulis, yang berkaitan dengan ide tersebut. Berhubungan dengan konsep, penggunaan nama dalam menghubungkan suatu objek menolong kita untuk mengklasifikasi, yaitu untuk mengenali suatu benda termasuk ke dalam kelas yang sudah ada. Penamaan dapat berperan secara maksimal, kadang-kadang penting, dalam pembentukan konsep baru. Jika nama yang sama muncul dari pengalaman-pengalaman yang berbeda, akan mempengaruhi kita untuk mengelompokkan pengalaman itu ke dalam satu pikiran kita dan kemudian mengabstraksi kesamaan instriksinya sehingga membantu kita untuk dapat memisahkan kelompok mereka sendiri-sendiri.

Dengan demikian, hubungan antara konsep dan namanya dapat dibentuk setelah konsep terbentuk atau dalam proses pembentukannya.

C.       Konsep Komunikasi

Bisa kita lihat bahwa bahasa dapat digunakan untuk mempercepat pembentukan sebuah konsep. Namun dapatkah bahasa digunakan untuk mempercepat mendefinisikan konsep yang sederhana secara verbal? pada keadaan tertentu hal ini sering dicoba. Perhatikan contoh berikut, misalnya kata “merah” dan bayangkan kita menanyakan  arti kata ini pada orang yang buta sejak lahir. Arti dari kata itu adalah konsep yang terkait dengan kata itu, jadi tugas kita sekarang adalah bagaimana membuat orang tersebut mampu membentuk konsep merah dan menghubungkannya dengan kata merah.

Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu definisi misalnya “merah adalah warna yang kita nyatakan sebagai panjang gelombang cahaya pada daerah 0,6 mikro”. Dan memberikan contoh beberapa objek yang berhubungan dengan kata merah misalnya, diary merah, dasi merah, penjepit merah dan sebagainya. Dari dua cara tersebut, pemberian contoh merupakan cara yang lebih tepat pada kasus ini untuk dapat menemukan konsep merah dan memperoleh pengalaman baru sehingga dapat mengabstraksi sifat-sifat umum dari merah.

Jika ada pertanyaan “apa artinya warna?” maka dengan mudah kita menyebut merah, biru, hijau, kuning, dan seterusnya yang disebut konsep. Penamaan sekarang menjadi faktor penting dari proses pengabstraksian.

Jenis-jenis konsep, antara lain:

1.      Konsep Primer, yaitu konsep yang diturunkan dari pengalaman-pengalaman sensori motorik, misalnya warna, mobil, berat, panas, manis, dan sebagainya.

2.      Konsep Sekunder, yaitu konsep yang dipisahkan dari konsep-konsep yang lain. Misalnya, konsep B merupakan suatu rangkaian/aturan yang lebih tinggi dari konsep A, artinya bahwa konsep B terbentuk dari konsep A. Jika konsep A digunakan untuk membentuk konsep B, maka konsep B mempunyai tingkatan yang lebih tinggi dari konsep A, atau konsep B merupakan pemisahan dari konsep A. jika konsep A dan B digunakan untuk membentuk konsep C, maka konsep C mempunyai tingkatan yang lebih tinggi dari konsep A dan B, atau dengan kata lain konsep C merupakan pemisahan dari konsep A dan B. Perbandingan ini hanya dapat dibuat antara konsep-konsep dalam hirarki yang sama.

Untuk dapat menentukan secara tepat batas-batas dari suatu konsep diperlukan suatu definisi dari konsep tersebut. Dengan adanya definisi kita dapat membuat ilustrasi seperti gambar, lambang dari konsep yang didefinisikan, sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu. Yang dimaksudkan dengan definisi adalah ungkapan yang diperlukan untuk membatasi suatu konsep.

D.   Konsep Sebagai Warisan Budaya

 Secara bertahap konsep dapat dibentuk dan digunakan, tanpa menggunakan bahasa. Kriteria dari konsep tidak dapat dinyatakan dengan nama tetapi ini tidak menunjukan indikasi pengelompokan data baru sesuai dengan kesamaan yang mana konsep itu akan terbentuk. Binatang berjalan dengan menggunakan akal mereka sehingga membentuk  konsep-konsep sederhana. Seekor tikus, dilatih untuk berjalan memilih kegelapan dari pada tempat terang. Yang membedakan antara manusia dan binatang lainnya adalah manusia menggunakan bahasa dalam menjelaskan konsep, walaupun implikasinya tak sebanyak kenyataannya. Jika kita memilih kata secara acak hampir selalu menemukan konsep yang tidak merupakan suatu objek atau pengalaman spesifik, tetapi sebuah kelompok.

Terdapat dua cara yang dapat digunakan dalam mengembangkan dan memfungsikan suatu konsep, yaitu:

1.      menemukan suatu contoh dari konsep tersebut.

2.      mendengar, membaca, melihat, dan lain-lain, yang dapat menyadari nama atau simbol lain dari konsep.

Tanpa menggunakan bahasa, masing-masing individu mampu membentuk suatu konsep dan mengenalkan pada lingkungannya. Hal ini disebut sebagai konsep yang utama. Namun tanpa bahasa, konsep utama ini tidak dapat digunakan untuk membentuk konsep yang lebih tinggi. Dengan adanya bahasa, proses yang pertama dapat dipercepat, dan proses yang kedua segera dapat terbentuk. Dengan bahasa, konsep masa lampau yang diabstraksikan dan diakumulasikan secara perlahan dari generasi ke generasi, dapat membantu masing-masing individu baru membentuk sistem pengertiannya.

Dengan sebuah konsep kita dapat mengetahui cara memproses data yang memungkinkan kita untuk menerapkan sepenuhnya pengalaman masa lampau yang berguna untuk masa kini. Tanpa bahasa, setiap individu harus membentuk konsepnya sendiri langsung dari lingkunganya. Tanpa bahasa, konsep-konsep dasar tidak dapat secara bersama membentuk konsep tingkat tinggi. Dengan bahasa apapun, proses pertama dapat dipercepat, dan kemungkinan juga yang kedua. Selebihnya, konsep masa lalu diabstraksikan dan secara perlahan diakumulasikan dari generasi ke generasi, siap kembali untuk membantu setiap individu baru membetuk konsep mereka sendiri. Ini yang disebut dengan conceptual system.

Pembentukan conceptual system memungkinkan setiap individu dapat menemukan sebuah konsep untuk dirinya sendiri. Salah satu ciri orang yang tingkat kecerdasannya tinggi adalah mampu membentuk konsep-konsep dalam tingkat kesulitan yang tinggi.

E.      Kekuatan Berpikir Konseptual

Pemikiran konseptual memberi kekuatan besar untuk menyesuaikan diri terhadap lingkungan, dan membuat lingkungan agar menjadi bagian dari kita. Kekuatan konsep juga datang dari kemampuan untuk mengkombinasikan dan menghubungkan berbagai pengalaman berbeda dan kelompok berbeda. Semakin abstrak suatu konsep, semakin membangkitkan kekuatan kita untuk melakukan klasifikasi. Orang berkata “jangan terganggu dengan teori, berikan faktanya”. Kata-kata ini kurang tepat, karena kelompok data dapat digunakan dalam keadaan terbatas, sebuah teori dapat memungkinkan kita menjelaskan, meramalkan, dan mengontrol menguasai sejumlah kejadian yang terkait dengannya.

Kontribusi selanjutnya dari pemikiran konseptual berhubungan dengan tingkat perhatian kita terhadap sesuatu. Memori jangka pendek kita hanya dapat mempelajari rata-rata 7 atau simbol lainnya dengan rentangan 7±3. Sehingga semakin sering ingatan itu dihadirkan, semakin besar pula perhatian kita pada ingatan itu. Matematika adalah ilmu yang obyeknya kebanyakan abstrak, dan yang paling kuat dari semua sistem teori. Oleh karena itu matematika mempunyai potensi sebagai alat yang paling bermanfaat bagi ilmuwan, ahli ekonomi, ahli navigasi, insinyur komunikasi dan lain-lain.

Meskipun sangat berguna, namun banyak yang berusaha dengan sekuat tenaga mempelajari matematika hanya akan mendapat manfaat yang sedikit/kecil dan tidak ada kenikmatan sama sekali dalam mempelajari matematika. Hal itu karena mereka tidak benar-benar belajar matematika. Mereka hanya berusaha memanipulasi lambang-lambang tentunya yang tidak mengandung kesenangan dan arti ketika melakukannya.

E.       Pembelajaran Konsep-konsep Matematika

Setiap hari kita belajar dari lingkungan di sekitar kita, dan konsep-konsep yang kita dapati ketika belajar dari lingkungan sekitar kita tersebut tidak abstrak. Padahal, permasalahan mendasar tetapi juga merupakan kekuatan dari matematika adalah kehebatannya dalam mengabstraksi dan menggeneralisasi, sebagaimana yang telah berhasil dicapai oleh generasi-generasi matematika terdahulu. Mereka memiliki kemampuan yang istimewa dalam mengabstraksikan dan menggeneralisasikan konsep-konsep. Saat ini, kita tinggal belajar untuk mengolah dan menggunakan konsep-konsep matematika yang sudah ada, bukan lagi konsep-konsep yang masih mentah. Secara tidak langsung, ini merupakan keuntungan yang tak terkira, dimana seorang siswa bisa memperoleh pengetahuan tentang konsep dengan cepat, padahal konsep-konsep itu memerlukan waktu berabad-abad untuk mengembangkannya.

Matematika tidak dapat dipelajari langsung dari lingkungan sehari-hari, tetapi hanya dapat dipelajari secara tidak langsung dari matematikawan yang lain. Akibat yang mungkin baik, hal ini membuat seseorang mempunyai ketergantungan yang besar pada gurunya (termasuk semua yang ditulis pada buku teks matematika). Tetapi akibat buruknya, hal ini akan membuat seseorang mengalami ketakutan sepanjang hidupnya dan tidak suka pada matematika.

Meskipun prinsip-prinsip awal dalam belajar matematika mudah dimengerti, tetapi penerapannya memerlukan pemikiran yang keras. Dua prinsip dalam mempelajari matematika:

1.         Konsep yang lebih tinggi daripada konsep yang telah dimiliki seseorang, tidak dapat dikomunikasikan (disampaikan) kepadanya melalui suatu definisi, tetapi dapat dikomunikasikan (disampaikan) hanya dengan cara mengarahkannya untuk    menemukan sekelompok contoh yang sesuai.

2.         Konsep matematika hampir selalu disusun dari konsep yang lain, yang pertama kali    harus dijamin adalah konsep-konsep ini harus telah dibentuk pada pikiran siswa.

Prinsip yang pertama seringkali diabaikan oleh kebanyakan buku teks, dulu maupun sekarang. Dimana-mana kita lihat bahwa topik baru diperkenalkan tidak dengan menggunakan contoh, tetapi dengan definisi. Hal ini mudah dipahami oleh guru (yang telah memiliki konsep tersebut) tetapi tidak dapat dipahami oleh siswa.

Guru yang baik seharusnya membantu menjelaskan definisi dengan contoh. Namun hal ini tidaklah mudah. Contoh harus memiliki kesamaan sifat sehingga membentuk konsep, dan tidak untuk hal yang lainnya. Dengan kata lain contoh-contoh itu harus sama dalam cara pemisahannya, dan bila terdapat banyak sifat-sifat yang tidak berhubungan dengan konsep, harus dihilangkan.

Dalam menyusun sekumpulan contoh yang sesuai, dibutuhkan dua hal yaitu daya cipta dan pemahaman yang mantap tentang konsep yang akan dikomunikasikan. Terdapat kemungkinan untuk menggunakan konsep pada tingkat intuitif, meski tanpa disadari, terutama pada konsep yang mendasar dan yang sering menggunakan gagasan. Hal ini bisa terjadi, sebagian lebih karena semakin otomatis suatu aktivitas maka semakin sedikit kita memikirkannya, hal itu karena ide dasar dari matematika telah didapatkan pada masa kecil saat kita belum punya kemampuan untuk menganalisanya. Sebagian lagi karena beberapa dari ide-ide dasar dalam matematika adalah berada di antara ide-ide yang sulit untuk dipisahkan atau diabstraksikan.

Beberapa anak afrika sedang belajar teorema Pythagoras. Anak-anak tersebut menyalin segitiga siku-siku dari papan tulis (gambar a) dan diminta untuk membuat persegi pada masing-masing sisinya (gambar b). Mereka dengan mudah membuat persegi pada dua sisi siku-sikunya tetapi kesulitan ketika membuat persegi pada sisi miringnya (gambar c).

 

Dari sini dapat diduga bahwa konsep persegi yang dimilikinya adalah  bahwa persegi hanyalah yang berbentuk persegi seperti kertas, yang miring tidak termasuk.

Konsep pada urutan yang lebih rendah, perlu disajikan sebelum konsep selanjutnya dengan langkah yang cukup abstrak disajikan, artinya sebelum berusaha mengkomunikasikan konsep baru, harus ditemukan terlebih dahulu konsep-konsep pembantunya, dan seterusnya, sampai kita menjangkau konsep dasar lainnya. Analisis konseptual ini membuat kita lebih banyak bekerja dibandingkan sekedar memberikan definisi. Jika hal ini dilakukan, maka akan memberikan hasil yang cukup mengejutkan.

Ide-ide yang awalnya diajarkan di universitas, sekarang tampak menjadi sangat mendasar sehingga dapat dikenalkan pada sekolah dasar; misalkan, konsep himpunan, korespondensi satu-satu. Sementara itu, ada topik yang dianggap sebagai topik dasar, namun setelah dianalisa ternyata berisi tentang ide-ide yang sebagian besar belum dikuasai guru. Termasuk dalam hal ini adalah topik tentang manipulasi pecahan.

Ada dua konsekuensi sebagai akibat dari prinsip kedua. Yang pertama bahwa dalam membangun struktur dari abstraksi yang berurutan, jika tingkat tertentu dimengerti tidak secara sempurna, maka segala sesuatu yang berasal dari konsep yang tidak dimengerti secara sempurna ini akan berisiko, artinya konsepnya tidak dijamin diterima secara benar. Dan mungkin hal ini hanya ada pada pembelajaran matematika. Bahkan beberapa bidang studi yang lain tidak menganut cara ini. Misalnya, dalam belajar matematika, untuk memahami aljabar tanpa benar-benar mengerti aritmetika adalah tidak mungkin.

Konsekuensi lain dari prinsip kedua adalah bahwa konsep pendukung selalu dibutuhkan untuk setiap tahap pengabstraksian. Tidaklah cukup bagi siswa hanya sekali belajar di waktu lampau agar pengetahuan mereka dapat diakses ketika diperlukan.

F.        Belajar dan Mengajar

Dalam pembelajaran matematika, ketika kita harus menanamkan konsep baru dalam pikiran, artinya kita hanyalah menggunakan konsep yang sudah ada. Hal ini mengakibatkan dalam pembelajaran matematika, khususnya pada tahap awal sangat tergantung pada guru. Sehingga sekarang untuk mengerti hakekat matematika dan mengajarkannya merupakan suatu hal yang cukup sulit. Akibatnya semakin banyak orang yang tidak suka pada matematika. Telah banyak usaha yang dilakukan untuk memperbaiki situasi ini, seperti penerapan silabus baru, dengan penyajian yang lebih atraktif dan lain-lain. Usaha-usaha ini akan sangat bernilai jika dikombinasikan dengan pemahaman yang mantap mengenai proses mental dalam pembelajaran matematika.

G.      Kesimpulan

Dari hasil analisis dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1.       Abstraksi adalah sebuah aktifitas berfikir secara sadar akan kesamaan-kesamaan di antara pengalaman-pengalaman kita. Sedangkan klasifikasi ialah pengelompokan pengalaman-pengalaman yang mempunyai kesamaan-kesamaan dari hasil abstraksi.

2.       Mengabstraksi berarti merubah sikap yang terdahulu sehingga menghasilkan pengalaman baru dalam mengelompokkan suatu objek berdasarkan kemiripan sifat dari suatu kelompok yang telah terbentuk. Sedangkan mengklasifikasi artinya mengumpulkan secara bersama pengalaman kita dengan dasar dari kesamaan.

3.       Konsep matematika adalah sebuah pengertian yang abstrak, dan merupakan hasil dari suatu aktivitas. Ada dua macam konsep yaitu konsep yang berasal dari rangsangan kita yang dinamakan konsep primer dan konsep berdasarkan penggerak pengalaman kita di dunia luar yang dinamakan konsep sekunder.

4.       Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu definisi dan memberikan contoh beberapa objek yang berhubungan

5.       Terdapat dua cara membangun konsep yaitu pertama, konsep dapat terbentuk dari pengklasifikasian contoh-contoh perbuatan sehingga dapat digunakan untuk membangun suatu konsep. Kedua, dengan mendengar, membaca atau sebaliknya dengan memberi nama atau simbol lainnya pada sebuah konsep.

6.       Ada dua prinsip dalam mempelajari matematika antara lain:

a.       Konsep yang lebih tinggi yang dimiliki seseorang tidak dapat dikomunikasikan kepada siswa hanya dengan sebuah definisi, melainkan dengan mengatur sedemikian rupa sehingga ia menemukan sejumlah contoh-contoh yang cocok.

b.      Dalam metamatika, contoh-contoh selalu mendasari banyak konsep. Ini berarti bahwa contoh-contoh itu harus dikuasai di dalam pemikiran siswa  sehingga konsep-konsep itu dapat dikuasai oleh siswa